COURS BIEN DETAILLE DE MODULE ALGEBRE 4 ( Réduction des Endomorphismes et Applications ) filière SMIA S3 PDF
Réduction des Endomorphismes et Applications - Cours N°1
Réduction des Endomorphismes et Applications - Cours N°2
Réduction des Endomorphismes et Applications - Cours N°3
Objectifs du module: Algèbre 4 ( Réduction des Endomorphismes et Applications ):
- Compléter le cours de l’algèbre 1
- Donner les fondements sur la théorie de la réduction des endomorphismes.
- Déterminer la base duale à partir d’une base donnée et vice versa.
- Diagonaliser et trigonaliser une matrice donnée.
Description du contenu du module: Algèbre 4 ( Réduction des Endomorphismes et Applications ):
- * Fournir une description détaillée des enseignements et/ou activités pour le module (Cours, TD, TP, Activités Pratiques, ….).
- * Pour le cas des Licences d’Etudes Fondamentales, se conformer au contenu du tronc commun national.
ALGEBRE 4: Réduction des Endomorphismes et Applications
1. Eléments propres d’un endomorphisme.
- Définition 1.1 : valeur et vecteur propre d’un endomorphisme
- Définition 1.2 : spectre d’un endomorphisme
- Définition 1.3 : sous-espace propre d’un endomorphisme
- Théorème 1.1 : liberté d’une famille de vecteurs propres
- Théorème 1.2 : somme directe de sous-espaces propres
2. Polynôme caractéristique d’un endomorphisme en dimension finie.
- Théorème 2.1 et définition 2.1 : polynôme caractéristique d’un endomorphisme en dimension finie
- Théorème 2.2 : lien entre valeurs propres et racines du polynôme caractéristique
- Théorème 2.3 : expression du polynôme caractéristique
- Définition 2.2 : multiplicité d’une valeur propre
- Théorème 2.4 : majoration du nombre de valeurs propres
- Théorème 2.5 : somme et produit des racines du polynôme caractéristique d’un endomorphisme en dimension finie
3. Eléments propres et polynôme caractéristique d’une matrice carrée.
- Définition 3.1 : valeur et vecteur propre d’une matrice carrée, spectre d’une matrice carrée
- Théorème 3.1 : comparaison des spectres réels et complexes
- Définition 3.2 : polynôme caractéristique d’une matrice carrée
- Théorème 3.2 : lien entre valeurs propres d’un endomorphisme et d’une matrice
4. Diagonalisation des endomorphismes en dimension finie et des matrices carrées.
- Définition 4.1 : endomorphisme diagonalisable en dimension finie
- Définition 4.2 : matrice carrée diagonalisable
- Théorème 4.1 : caractérisation des endomorphismes diagonalisables en dimension finie
- Remarque : polynôme caractéristique scindé dans le cas d’un endomorphisme diagonalisable
- Théorème 4.2 : interprétation de la diagonalisabilité en termes de vecteurs propres
- Théorème 4.3 : cas d’un endomorphisme dont les valeurs propres sont simples
- Théorème 4.4 : diagonalisabilité d’un endomorphisme en dimension finie en termes de dimensions
- Théorème 4.5 : lien entre multiplicité d’une valeur propre et dimension du sous-espace propre associé, endomorphismes diagonalisables en dimension finie en termes de multiplicités
- Théorème 4.6 : puissances d’une matrice carrée diagonalisable
- Remarque : utilisation du théorème 7.5 pour le calcul d’une puissance de matrice carrée à l’aide d’une division euclidienne
- Théorème 4.7 : application à la résolution des suites récurrentes linéaires à coefficients constants
5. Trigonalisation des endomorphismes en dimension finie et des matrices carrées.
- Définition 5.1 : endomorphisme trigonalisable en dimension finie
- Définition 5.2 : matrice carrée trigonalisable
- Théorème 5.1 (admis) : caractérisation des endomorphismes trigonalisables en dimension finie
- Théorème 5.2 : trigonalisabilité des matrices carrées complexes
- Théorème 5.3 : éléments diagonaux d’une matrice triangulaire ou diagonale semblable à une matrice carrée
6. Sous-espaces vectoriels stables par un endomorphisme.
- Définition 6.1 : sous-espace vectoriel stable par un endomorphisme
- Définition 6.2 : endomorphisme induit par un endomorphisme dans un sous-espace vectoriel stable
- Théorème 6.1 : stabilité des sous-espaces propres par un endomorphisme commutant
- Théorème 6.2 : caractérisation des vecteurs propres en termes de droite stable
- Théorème 6.3 : traduction matricielle de la stabilité d’un sous-espace vectoriel
- Chapitre 07 : Réduction d’endomorphismes – Cours complet. - 2 -
- Théorème 6.4 : généralisation du théorème 6.4
- Théorème 6.5 : caractérisation des matrices triangulaires supérieures en termes de sous-espaces stables
7. Polynômes d’endomorphisme, de matrice carrée.
- Définition 7.1 et théorème 7.1 : polynôme d’un endomorphisme, polynôme d’une matrice carrée
- Théorème 7.2 : stabilité des images et noyau de polynômes d’endomorphismes
- Théorème 7.3 : correspondance polynôme – polynôme d’endomorphisme, de matrice carrée
- Définition 7.2 et théorème 7.4 : polynôme annulateur d’un endomorphisme ou d’une matrice carrée
- Théorème 7.5 : valeurs propres et polynômes annulateurs
- Théorème 7.6 (admis) : Cayley-Hamilton
- Remarque : calcul de la puissance kème d’une matrice carrée à l’aide d’un polynôme annulateur
- Théorème 7.7 (admis) : caractérisation de la diagonalisabilité à l’aide d’un polynôme annulateur
- Théorème 7.8 : diagonalisabilité d’un endomorphisme induit par un endomorphisme diagonalisable
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